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FDTD (método)

¿Por qué usar software de simulación FDTD?

Mientras que muchas técnicas de simulación electromagnética se aplican en el dominio de frecuencia, FDTD resuelve las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo. Esto significa que el cálculo de los valores del campo electromagnético progresa en pasos discretos en el tiempo. Un beneficio del enfoque del dominio del tiempo es que da salida de banda ancha de una sola ejecución del programa; sin embargo, la razón principal para utilizar el enfoque de FDTD es el excelente rendimiento de escalado del método a medida que crece el tamaño del problema. A medida que aumenta el número de desconocidos, el enfoque del FDTD supera rápidamente a otros métodos en eficiencia. El FDTD también se ha identificado como el método preferido para realizar simulaciones electromagnéticas para efectos biológicos de dispositivos inalámbricos [1]. El método FDTD ha demostrado ser el enfoque más eficiente y proporciona resultados precisos de la penetración de campo en los tejidos biológicos.

 

Modelo de teléfono móvil proporcionado por cortesía de Motorola Mobility, LLC/Lenovo.

 

Un breve resumen-fundamentos de la simulación de FDTD

En el enfoque FDTD, tanto el espacio como el tiempo se dividen en segmentos discretos. El espacio está segmentado en celdas en forma de caja, que son pequeñas en comparación con la longitud de onda. Los campos eléctricos se encuentran en los bordes de la caja y los campos magnéticos se colocan en las caras como se muestra en la figura 1. Esta orientación de los campos se conoce como la celda Yee [2, p. 37] y es la base para FDTD. El tiempo se cuantiza en pequeños pasos donde cada paso representa el tiempo necesario para que el campo viaje de una celda a la siguiente. Dado el desfase en el espacio de los campos magnéticos de los campos eléctricos, también se compensan los valores del campo con respecto al tiempo. Los campos eléctricos y magnéticos se actualizan utilizando un esquema de LeapFrog donde primero se computan los campos eléctricos, luego el magnético, en cada paso en el tiempo.

Figure 1:  The Yee cell with labeled field components

Figura 1: la celda Yee con componentes de campo etiquetados

Cuando muchas células FDTD se combinan juntas para formar un volumen tridimensional, el resultado es una cuadrícula o malla FDTD. Cada célula FDTD superpondrá los bordes y las caras con sus vecinos, así que por Convención cada célula tendrá tres campos eléctricos que comienzan en un nodo común asociado a él. Los campos eléctricos en los otros nueve bordes de la célula FDTD pertenecerán a otras células adyacentes. Cada celda también tendrá tres campos magnéticos que se originan en las caras de la celda adyacentes al nodo común de los campos eléctricos, como se muestra en la figura 1.

Dentro de la malla, se pueden añadir materiales como conductores o dieléctricos cambiando las ecuaciones para calcular los campos en las ubicaciones dadas. Por ejemplo, para añadir un segmento de alambre perfectamente conductor a un borde de celda, la ecuación para calcular el campo eléctrico se puede sustituir simplemente estableciendo el campo en cero ya que el campo eléctrico en un conductor perfecto es idéntico a cero. Al unir numerosos bordes de células de extremo a extremo definidos como material perfectamente conductora, se puede formar un cable. La introducción de otros materiales u otras configuraciones se maneja de una manera similar y cada uno puede aplicarse a los campos eléctricos o magnéticos dependiendo de las características del material. Al asociar muchos bordes de celda con materiales, se puede formar una estructura geométrica dentro de la cuadrícula de FDTD, como la esfera dieléctrica que se muestra en la figura 2. Cada cuadro pequeño que se muestra en la figura representa una celda FDTD.

Figure 2:  A dielectric sphere as meshed in an FDTD grid. The individual cell edges (electric field locations) are displayed as overlapping grid lines.

Figura 2: una esfera dieléctrica como mallada en una rejilla FDTD. Los bordes de celda individuales (ubicaciones de campo eléctrico) se muestran como líneas de rejilla superpuestas.

 

El tamaño de celda, las dimensiones del cuadro pequeño, es la restricción más importante en cualquier simulación FDTD, ya que determina no sólo el tamaño del paso en el tiempo, sino también el límite de frecuencia superior para el cálculo. Una regla general establece la resolución mínima, y por lo tanto el límite de frecuencia superior, en diez celdas por longitud de onda. En la práctica, el tamaño de la celda a menudo será más pequeño que este para resolver las dimensiones y las características de la estructura que se simulará, como el espesor de un sustrato o la longitud de un alambre.

Una excitación se puede aplicar a una simulación FDTD de muchas maneras diferentes. Un método emula una geometría emocionante en ubicaciones discretas aplicando una forma de onda muestreada a la ecuación de actualización de campo en una o más ubicaciones. En cada paso del tiempo, el valor de la forma de onda durante ese período de tiempo se agrega al valor del campo. Los campos circundantes propagarán la forma de onda introducida a lo largo de la rejilla FDTD apropiadamente, dependiendo de las características de cada celda. Un cálculo debe continuar hasta que se haya alcanzado un estado de convergencia. Esto significa típicamente que todos los valores de campo han decaído a esencialmente cero (por lo menos 60dB abajo del pico) o se ha alcanzado una condición de estado estacionario.

Refinamientos a la célula Yee básica

La celda Yee cuadrada de la figura 1 puede ser, en general, rectangular. Los espaciamientos entre las celdas de las direcciones x, y y z pueden variar en todo el espacio del problema. Esto permite que se coloquen más bordes de celda en regiones de campos fuertes, como alrededor de pequeñas características de material altamente conductivo. Dentro de una celda, las ecuaciones de actualización estándar de FDTD se pueden refinar de muchas maneras, por ejemplo para permitir los alambres que son más delgados que un tamaño de celda. Otro refinamiento puede permitir que los objetos cuya superficie intersecta la celda en ángulos arbitrarios con respecto a los ejes principales. Estas células "conformales" se pueden refinar más para explicar la curvatura de la superficie del objeto dentro del volumen de la celda.

La figura 3 muestra la geometría de una parte de un teléfono móvil. Para mayor claridad, se ha desactivado la visibilidad de muchas de las piezas, incluida la carcasa exterior, para mostrar la región cerca de la antena. Una pequeña porción de la malla FDTD del teléfono se muestra en la figura 4a usando celdas rectangulares simples. En la Figura 4B se muestra la misma parte de la malla del teléfono, esta vez utilizando un tipo de tratamiento conformal para las células que contienen porciones de la superficie de un objeto. La figura 5 muestra una vista más grande de las superficies de la malla conformal.

Haga clic en las imágenes para ver los detalles...

Figura 3: sección de antena del teléfono móvil.

 

Figura 4a: vista de malla de la esquina de la antena utilizando una malla rectangular simple.

Figura 4B: vista de malla de la esquina de la antena con malla conformal.

 

Figura 5: malla conformal de la antena del teléfono móvil.

 

Materiales

El software de simulación FDTD es capaz de simular una amplia variedad de materiales eléctricos y magnéticos. El material más básico, por supuesto, es el espacio libre. Todas las celdas FDTD se inicializan como espacio libre y los campos en todos los bordes de celda se actualizan utilizando las ecuaciones de espacio libre a menos que se agregue otro material para reemplazar el espacio libre.

Perfectamente la conducción de materiales eléctricos y magnéticos se simulan estableciendo el campo eléctrico o magnético a cero para cualquier borde de la célula situado dentro de estos materiales. Debido a la simplicidad del cálculo de estos materiales, es mejor utilizar un conductor perfecto en lugar de un conductor real siempre que sea factible. Los conductores como el cobre pueden ser simulados en FDTD, pero dado que las ecuaciones para computar los campos en el material de cobre son más complicadas que las de un conductor perfecto, el cálculo tomará más tiempo. Por supuesto, para los casos en los que sólo un pequeño porcentaje de las células FDTD se definen como un conductor, la diferencia en el tiempo de ejecución difícilmente será perceptible.

Los materiales dieléctricos y magnéticos de frecuencia independientes se definen por sus parámetros constitutivos de la permitividad relativa y la conductividad para el material eléctrico, o la permeabilidad relativa y la conductividad magnética para el material magnético. En muchos casos, incluso cuando se realiza un cálculo de banda ancha, estos materiales son apropiados ya que los parámetros no varían significativamente en el rango de frecuencias.

En algunos casos, un material independiente de la frecuencia no es adecuado y, en su lugar, se debe sustituir un material dependiente de la frecuencia o dispersivo. Algunos ejemplos comunes de materiales dependientes de la frecuencia son materiales de alto contenido de agua como tejidos humanos, metales cuando se excitan en frecuencias ópticas y los dieléctricos sobre anchos de banda anchos. En XFdtd se incluye la capacidad de simular materiales eléctricos y magnéticos de Debye y Drude como plasmas, materiales de Lorentz y ferritas magnéticas anisotrópicas, así como dielectrics anisotrópicos independientes de frecuencia. Estos materiales pueden tener permittividades o permeabilidades que son negativas en algunas frecuencias, haciéndolas efectivas para simular metamateriales macroscópicamente. El FDTD también es particularmente eficaz en la simulación de materiales no lineales, varios de los cuales están incluidos en XFdtd.

Zona cercana versus zona lejana

Para cualquier cálculo determinado, la geometría de la estructura que se simula se define estableciendo los bordes de las celdas en ubicaciones específicas para determinados materiales. Todo el espacio de geometría FDTD, comúnmente llamado la cuadrícula o la malla, se compone de un bloque tridimensional de estas celdas. Este volumen tridimensional se considera la región de la cercano-zona en FDTD en términos del almacenaje de datos. El valor de campo en cualquier arista de la cuadrícula FDTD se puede observar como una función del tiempo guardando un punto "near-Zone" en XFdtd. Otros tipos de datos, como las magnitudes de campo de estado estacionario, las tasas de absorción específicas, los parámetros S o la impedancia, también se pueden almacenar para los puntos, superficies y volúmenes apropiados dentro de la cuadrícula.

Es posible hacer una cuadrícula FDTD que sea lo suficientemente grande como para permitir el muestreo de puntos en el campo lejano de una geometría. En general, esto será extremadamente costoso en términos de memoria del ordenador y tiempo de cálculo, ya que el número de desconocidos (celdas) es muy probable que sea grande. Tenga en cuenta que cada celda FDTD tiene un tamaño máximo de una décima parte de una longitud de onda, por lo que mover muchas longitudes de onda lejos de una estructura requerirá una gran cantidad de celdas. En la mayoría de los casos, esto no es un método adecuado para supervisar los resultados del campo lejano.

Un método más práctico para transformar los valores de campo en la zona lejana y para los cálculos de la ganancia de radiación o los patrones de dispersión de radar es utilizar una transformación para convertir los valores de la zona cercana en la cuadrícula FDTD en un valor de campo lejano en algún lugar alejado de la Rejilla. Esto se hace mediante la inclusión de la geometría en un cuadro y el almacenamiento de los campos en las caras externas de este cuadro para problemas generales de zona lejana. Las caras del cuadro se localizan cinco células FDTD de cada borde externo de la rejilla FDTD. Para que la transformación sea válida, todas las partes de la geometría FDTD deben estar contenidas en el cuadro.

El sistema de coordenadas polares utilizado en XFdtd se define con el ángulo azimutal (PHI) al que se hace referencia desde el eje x y el ángulo de elevación (Theta) al que se hace referencia desde el eje z, como se muestra en la figura 6. Este sistema de coordenadas se utiliza para ubicar posiciones de zona lejana y para definir la dirección de onda del plano incidente.

Figura 6: sistema de coordenadas polar utilizado para direcciones de ondas planas y de incidentes de zonas lejanas.

Cálculos de banda ancha y estado estacionario

Generalmente se realiza un cálculo de banda ancha con FDTD ya que un solo cálculo puede producir resultados para una amplia gama de frecuencias sin requerir recursos informáticos adicionales. Cuando se requieren datos en determinadas frecuencias, los datos de estado estacionario pueden calcularse a partir del cálculo de banda ancha mediante una transformada de Fourier.

Ejemplos comunes de datos versus frecuencia incluyen patrones de antenas en frecuencias específicas, aplicaciones biológicas como la tasa de absorción específica (SAR), magnitudes de campos eléctricos y magnéticos, magnitudes de flujo magnético, corrientes de conducción y "circuito" tipo de información como S-Parameters, retardo de grupo, impedancia, potencia, eficiencia, etc.

La excitación sinusoidal se puede desear en ciertos casos ocasionales, por ejemplo al evitar una resonancia fuerte cerca, pero fuera de, el rango de frecuencia de interés.

Límites de radiación externa

Una cuadrícula tridimensional de celdas forma la geometría FDTD y los campos actualizados en cada ubicación de celda dependen de los campos vecinos. Sin embargo, debido a las limitaciones de memoria, la cuadrícula debe terminar en algún momento y, debido a esto, los campos de los bordes exteriores de la cuadrícula no se pueden actualizar correctamente. Para corregir esta situación, las condiciones del límite de radiación externa se aplican en los bordes de la cuadrícula FDTD.

El límite de radiación exterior es un método para absorber campos que se propagan desde la cuadrícula FDTD hacia el contorno. Al absorber estos campos, la cuadrícula parece extenderse para siempre. El rendimiento de los límites exteriores es un factor importante en la exactitud de un cálculo del FDTD y se debe tener cuidado para utilizarlos correctamente.

En algunos casos se prefiere un contorno reflectante en lugar de uno absorbente. Se puede utilizar un contorno perfectamente conductor (eléctrico o magnético) para la imagen de los campos en un cálculo del FDTD para aprovechar las simetrías problemáticas. Una condición de contorno periódica es útil para simular una celda de una sola unidad de una geometría simétrica grande.

Recursos informáticos

FDTD es un método computacionalmente intensivo y la mayoría de los cálculos razonables necesitarán un ordenador rápido y al menos unos pocos gigabytes de memoria de la computadora. Para la mayoría de las aplicaciones es bastante simple estimar la cantidad de memoria del ordenador requerida para un cálculo. El factor más importante para el uso de memoria, y en gran parte el tiempo de ejecución, es el número de células FDTD utilizadas para representar la estructura sometida a prueba. Cada célula FDTD tiene seis valores de campo asociados: tres campos eléctricos y tres campos magnéticos. Además, cada celda tiene seis banderas asociadas para indicar el tipo de material presente en cada una de las seis ubicaciones de campo. Los valores de campo son números reales, cada cuatro bytes de longitud, mientras que los indicadores pueden ser un byte. Esto da un uso de memoria por la célula FDTD de 24 bytes para los campos y 6 bytes para los indicadores para un total de 30 bytes. Para estimar la memoria total requerida, en los bytes, multiplique simplemente el número de las células FDTD por los 30 bytes por el valor de la célula. Hay algunos gastos generales en el cálculo, pero en general es bastante pequeño. Una excepción notable son los ángulos de zona lejana de banda ancha que asignan matrices de valor real dimensional 6 1 por dirección.

Estimar el tiempo de ejecución de un cálculo del FDTD es más complicado ya que el rendimiento de los procesadores informáticos varía. Un método de estimación es calcular el número total de operaciones que se realizarán. Hay aproximadamente 80 operaciones por celda, por paso de tiempo durante los cálculos del FDTD. El número total de operaciones se encuentra desde el producto del número de celdas, el número de pasos de tiempo y el factor de 80 operaciones por celda, por paso de tiempo. Si se conoce un valor del rendimiento de punto flotante del procesador, se puede calcular un valor para el tiempo de ejecución. En general, sin embargo, un mejor método de estimación es determinar el tiempo de ejecución de un problema simple en un equipo determinado y luego escalar el tiempo por la relación del número de operaciones entre el cálculo deseado y el simple.

Hay muchas maneras de aumentar la velocidad de cálculo de FDTD, aunque algunos requerirán un esfuerzo considerable para programar. Algunos de los más eficaces son utilizar varias CPU de un equipo en paralelo, utilizar varios equipos en paralelo, optimizar los bucles de cálculo para la memoria caché, o aprovechar los métodos paralelos en las CPU como SSE y AVX. El software FDTD es especialmente adecuado para la computación en procesadores de GPU, ya que la noción de muchas celdas que realizan un número relativamente pequeño de algoritmos de actualización en paralelo encaja bien con los métodos desarrollados para actualizar las pantallas de vídeo.

Referencias

  1. C 95.3.2002, "práctica recomendada para mediciones y cálculos con respecto a la exposición humana a campos electromagnéticos de radiofrecuencia, 100kHz a 300GHz," normas IEEE y Comité Coordinador 28 sobre peligros de radiación no ionizante, abril 2002.
  2. K. s. Kunz y r. j. Luebbers, "el método de dominio de tiempo de diferencia finito para electromagnetics", Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.

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