El método FDTD para la simulación electromagnética

Breve resumen - Conceptos básicos de la simulación FDTD

En el enfoque FDTD, tanto el espacio como el tiempo se dividen en segmentos discretos. El espacio se segmenta en celdas con forma de caja, que son pequeñas en comparación con la longitud de onda. Los campos eléctricos se sitúan en los bordes de la caja y los magnéticos en las caras, como se muestra en la Figura 1. Esta orientación de los campos se conoce como "Y". Esta orientación de los campos se conoce como celda de Yee [2, p. 37] y es la base de la FDTD. El tiempo se cuantiza en pequeños pasos en los que cada paso representa el tiempo necesario para que el campo viaje de una celda a la siguiente. Dado el desfase en el espacio de los campos magnéticos con respecto a los campos eléctricos, los valores del campo con respecto al tiempo también están desfasados. Los campos eléctricos y magnéticos se actualizan utilizando un esquema de salto en el que primero se calculan los campos eléctricos y luego los magnéticos, a cada paso en el tiempo. 

Cuando se combinan muchas celdas FDTD para formar un volumen tridimensional, el resultado es una rejilla o malla FDTD. Cada celda FDTD solapará aristas y caras con sus vecinas, por lo que, por convención, cada celda tendrá tres campos eléctricos que comienzan en un nodo común asociado a ella. Los campos eléctricos de los otros nueve bordes de la celda FDTD pertenecerán a otras celdas adyacentes. Cada celda tendrá también tres campos magnéticos originados en las caras de la celda adyacentes al nodo común de los campos eléctricos, como se muestra en la Figura 1.

Dentro de la malla, pueden añadirse materiales como conductores o dieléctricos cambiando las ecuaciones para calcular los campos en determinados lugares. Por ejemplo, para añadir un segmento de alambre perfectamente conductor a un borde de celda, la ecuación para calcular el campo eléctrico puede sustituirse simplemente por el valor cero, ya que el campo eléctrico en un conductor perfecto es idénticamente cero. Uniendo numerosos bordes de celda de extremo a extremo definidos como material perfectamente conductor, se puede formar un alambre. La introducción de otros materiales u otras configuraciones se maneja de manera similar y cada uno puede aplicarse a los campos eléctricos o magnéticos dependiendo de las características del material. Al asociar muchos bordes de celda con materiales, se puede formar una estructura geométrica dentro de la malla FDTD como la esfera dieléctrica que se muestra en la Figura 2. Cada pequeño recuadro de la figura representa una celda FDTD.

Figura 1: La célula de Yee con componentes de campo etiquetados

Figura 2: Una esfera dieléctrica mallada en una malla FDTD tradicional con escalonamiento. Los bordes de las celdas individuales (ubicaciones del campo eléctrico) se muestran como líneas de malla superpuestas.

Avances en escaleras celulares

Tradicionalmente, las celdas FDTD escalonadas se consideran engorrosas e ineficaces para resolver superficies curvas o campos muy variables. Los avances en F DTD permiten crear mallas conformadas y corregir singularidades.

En general, la celda Yee de la figura 1 puede ser rectangular. Las distancias entre celdas en las direcciones x, y y z pueden variar a lo largo del espacio del problema. Esto permite colocar más bordes de celda en regiones de campos intensos, como alrededor de pequeñas características de material altamente conductor. Dentro de una celda, las ecuaciones de actualización estándar de FDTD pueden refinarse de muchas maneras, por ejemplo, para permitir cables más delgados que el tamaño de una celda o para calcular los campos intensos en los bordes de conductores como las líneas microstrip. Otro refinamiento puede permitir objetos cuya superficie intersecte la celda en ángulos arbitrarios con respecto a los ejes principales. Estas células "conformes" pueden refinarse aún más para tener en cuenta la curvatura de la superficie del objeto dentro del volumen de la célula.

La figura 3 muestra la geometría de una parte de un teléfono móvil. Para mayor claridad, se ha desactivado la visibilidad de muchas de las partes, incluida la carcasa exterior, para mostrar la región cercana a la antena. En la Figura 4a se muestra una pequeña porción de la malla FDTD del teléfono utilizando celdas rectangulares simples. En la Figura 4b se muestra la misma parte de la malla del teléfono, esta vez utilizando un tipo de tratamiento conforme para celdas que contienen porciones de la superficie de un objeto. La figura 5 muestra una vista más amplia de las superficies de la malla conformada.

El software de simulación FDTD es capaz de simular una amplia variedad de materiales eléctricos y magnéticos. El material más básico es, por supuesto, el espacio libre. Todas las celdas FDTD se inicializan como espacio libre y los campos en todos los bordes de la celda se actualizan utilizando las ecuaciones del espacio libre, a menos que se añada otro material para sustituir el espacio libre.

Los materiales conductores eléctricos y magnéticos perfectos se simulan estableciendo el campo eléctrico o magnético en cero para cualquier borde de celda situado dentro de estos materiales. Debido a la simplicidad del cálculo para estos materiales, es mejor utilizar un conductor perfecto en lugar de un conductor real siempre que sea factible. Conductores como el cobre pueden simularse en FDTD, pero como las ecuaciones para calcular los campos en el material de cobre son más complicadas que las de un conductor perfecto, el cálculo llevará más tiempo. Por supuesto, para los casos en los que sólo un pequeño porcentaje de las celdas FDTD se definen como un conductor, la diferencia en el tiempo de ejecución apenas será perceptible.

Los materiales dieléctricos y magnéticos independientes de la frecuencia se definen por sus parámetros constitutivos de permitividad relativa y conductividad o tangente de pérdida para el material eléctrico, o permeabilidad relativa y conductividad magnética para el material magnético. En muchos casos, incluso cuando se realiza un cálculo de banda ancha, estos materiales son apropiados, ya que los parámetros no varían significativamente a lo largo de la gama de frecuencias.

En algunos casos, un material independiente de la frecuencia no es adecuado y, en su lugar, debe sustituirse por un material dependiente de la frecuencia o dispersivo. Algunos ejemplos comunes de materiales dependientes de la frecuencia son los materiales con alto contenido en agua, como los tejidos humanos, los metales cuando se excitan a frecuencias ópticas y los dieléctricos en anchos de banda amplios. XFdtd incluye la capacidad de simular materiales eléctricos y magnéticos de Debye y Drude como plasmas, materiales de Lorentz y ferritas magnéticas anisotrópicas, así como dieléctricos anisotrópicos independientes de la frecuencia. Estos materiales pueden tener permitividades o permeabilidades negativas en algunas frecuencias, lo que los hace eficaces para simular metamateriales macroscópicamente. FDTD también es particularmente eficaz en la simulación de materiales no lineales, varios de los cuales están incluidos en XFdtd.